The Eisenstein Cocycle and Gross’s Tower of Fields Conjecture

This paper is an announcement of the following result, whose proof will be forthcoming. Let F be a totally real number field, and let F ⊂ K ⊂ L be a tower of fields with L/F a finite abelian extension. Let I denote the kernel of the natural projection from Z[Gal(L/F )] to Z[Gal(K/F )]. Let Θ ∈ Z[Gal(L/F )] denote the Stickelberger element encoding the special values at zero of the partial zeta functions of L/F , taken relative to sets S and T in the usual way. Let r denote the number of places in S that split completely in K. We show that Θ ∈ Ir, unless K is totally real in which case we obtain Θ ∈ Ir−1 and 2Θ ∈ Ir. This proves a conjecture of Gross up to the factor of 2 in the case that K is totally real and #S 6= r. In this article we sketch the proof in the case that K is totally complex. Résumé Ce papier est une annonce du résultat suivant, dont la preuve est imminente. Soit F un corps de nombres totalement réel, et soit F ⊂ K ⊂ L une tour d’extensions, où l’extension L/F est abélienne finie. Soit I le noyau de la projection naturelle de Z[Gal(L/F )] vers Z[Gal(K/F )]. Soit Θ ∈ Z[Gal(L/F )] l’élément de Stickelberger qui encode les valeurs spéciales en zéro des fonctions zêta partielles de L/F , prise par rapport à des ensembles S et T de places de F de la manière usuelle. Soit r le nombre de places dans S qui sont totalement déployées dans K. Nous démontrons que Θ ∈ Ir, à moins que K ne soit totalement réel auquel cas nous obtenons Θ ∈ Ir−1 et 2Θ ∈ Ir. Ceci démontre une conjecture de Gross, à un facteur de 2 près dans le cas où K est totalement réel et #S 6= r. Dans cet article, nous esquissons une preuve dans le cas où l’extension K est totalement complexe.